起本篇题目还是比较纠结的，原因是我本意打算寻找这样一个算法：在测量数据有比较大离群点时如何估计原始模型。
上一篇是假设测量数据基本符合均匀分布，没有特别大的离群点的情况下，我们使用最小二乘得到了不错的拟合结果。
但是当我加入比如10个大的离群点时，该方法得到的模型就很难看了。所以我就在网上搜了一下，有没有能够剔除离群点的方法。
结果找到了如下名词：加权最小二乘、迭代最小二乘、抗差最小二乘、稳健最小二乘。
他们细节的区别我就不过分研究了，不过这些最小二乘似乎表达的是一个意思：
构造权重函数，给不同测量值不同的权重，偏差大的值权重小，偏差小的权重大，采用迭代最小二乘的方式最优化目标函数。
下面是matlab中robustfit函数权重函数，可以参考一下：
| 权重函数（Weight Function） | 等式（Equation） | 默认调节常数（Default Tuning Constant） |
|---|---|---|
| 'andrews' | w = (abs(r)<pi) .* sin(r) ./ r | 1.339 |
| 'bisquare' (default) | w = (abs(r)<1) .* (1 - r.^2).^2 | 4.685 |
| 'cauchy' | w = 1 ./ (1 + r.^2) | 2.385 |
| 'fair' | w = 1 ./ (1 + abs(r)) | 1.400 |
| 'huber' | w = 1 ./ max(1, abs(r)) | 1.345 |
| 'logistic' | w = tanh(r) ./ r | 1.205 |
| 'ols' | 传统最小二乘估计 (无权重函数) | 无 |
| 'talwar' | w = 1 * (abs(r)<1) | 2.795 |
| 'welsch' | w = exp(-(r.^2)) | 2.985 |
代码如下：
clear all;close all;clc;a=2;b=2;c=-3;d=1;e=2;f=30; %系数 n=1:0.2:20;x=repmat(n,96,1);y=repmat(n',1,96);z=a*x.^2+b*y.^2+c*x.*y+d*x+e*y +f; %原始模型 surf(x,y,z)N=100;ind=int8(rand(N,2)*95+1);X=x(sub2ind(size(x),ind(:,1),ind(:,2)));Y=y(sub2ind(size(y),ind(:,1),ind(:,2)));Z=z(sub2ind(size(z),ind(:,1),ind(:,2)))+rand(N,1)*20; %生成待拟合点，加个噪声Z(1:10)=Z(1:10)+400; %加入离群点hold on;plot3(X,Y,Z,'o');XX=[X.^2 Y.^2 X.*Y X Y ones(100,1)];YY=Z;C=inv(XX'*XX)*XX'*YY; %最小二乘z=C(1)*x.^2+C(2)*y.^2+C(3)*x.*y+C(4)*x+C(5)*y +C(6); %拟合结果Cm=C;mesh(x,y,z)z=C(1)*X.^2+C(2)*Y.^2+C(3)*X.*Y+C(4)*X+C(5)*Y +C(6); C0=C;while 1 r = z-Z; w = tanh(r)./r; %权重函数 W=diag(w); C=inv(XX'*W*XX)*XX'*W*YY; %加权最小二乘 z=C(1)*X.^2+C(2)*Y.^2+C(3)*X.*Y+C(4)*X+C(5)*Y +C(6); %拟合结果 if norm(C-C0)<1e-10 break; end C0=C;endz=C(1)*x.^2+C(2)*y.^2+C(3)*x.*y+C(4)*x+C(5)*y +C(6); %拟合结果mesh(x,y,z)
结果如下：
图中一共三个曲面，最下层是原模型，最上层是普通最小二乘拟合模型，中间层是加权最小二乘拟合模型。
可以看出，加权最小二乘效果要好一些。
参考：